Gegeben ist die in definierte Funktion mit .
Weisen Sie nach, dass folgende Eigenschaften besitzt:
(1) Der Graph von besitzt an der Stelle die Steigung .
(2) Der Graph von besitzt im Punkt die x-Achse als Tangente.
(3) Die Tangente an den Graphen der Funktion im Punkt kann durch die Gleichung beschrieben werden.
(5 BE)
Lösung anzeigen
In dieser Aufgabe sollst du Steigungswerte und Tangenten einer ganzrationalen Funktion 3. Grades berechnen
Teilaufgabe (1)
Berechne mit der 1. Ableitung von den Steigungswert für .
Teilaufgabe (2)
Berechne zunächst die 2. Koordinate des Punktes .
Damit ist eine Nullstelle und die x-Achse Tangente, wenn .
Alternative Überlegung:
Eine Nullstelle hat die x-Achse als Tangente, wenn es sich um eine doppelte Nullstelle handelt.
Nachweis, dass eine doppelte Nullstelle von ist, durch eine Polynomdivision.
Damit gilt:.
Somit ist eine doppelte Nullstelle von und die Tangente im Punkt ist die x-Achse.
Teilaufgabe (3)
Berechne zunächst die 2. Koordinate des Punktes :
Für die Geradengleichung der Tangente in gilt: